¿Alguna vez te has preguntado lo que es un número? ¿Sabrías decir a ciencia cierta lo que es un cuatro? ¿Has visto en pasar por ahí un siete? Si te preguntara qué son los números naturales, seguro responderías que son los que usamos para contar, y que son los que puedes representar con los dedos de la mano, quizá si te pones un poco más técnico, dirás que son números enteros positivos.
Parece una pregunta tan sencilla que resulta absurda, ¿no es así? ¡Pues los números se usan para contar y ya está! Pero momento, aunque pueda parecer sorprendente, la cuestión de los números naturales, esos que Eduardo Sáenz de Cabezón (el del canal de Youtube de Derivando) llama “los de toda la vida,” han preocupado a varios filósofos, matemáticos y lógicos, entre ellos a Giuseppe Peano, quien se tomó la mayor molestia en definirlos, y cuya descripción de estos es la que se emplea en el campo matemático hoy en día.
Según Carlos Julio Luque Arias, ante la pregunta de qué es un número natural podemos responder dos cosas, podríamos decir que son los que se usan para contar ¡y ya está! ¡Nos hemos salido por la tangente! O, como menciona él, podríamos discutir primero con Bertrand Russell, el más afamado lógico del siglo XX, coautor de Principia Mathematica junto con Alfred Whitehead (no confundir con la obra de Isaac Newton). Donde los autores invirtieron cientos de páginas para demostrar que uno más uno son dos, tendría sentido intentar definir si un número, digamos, un tres, es un adjetivo o un sustantivo. Un adjetivo es todo aquello que se usa para definir un sustantivo, el sustantivo es, pues, todo lo que existe, sea tangible o intangible, por ejemplo, en la oración: “el cielo es azul,” el adjetivo es azul y el sustantivo es cielo. Ahora bien, en la oración “hay tres limones,” ¿cuál es el adjetivo? Gottlob Frege y el mismo Bertrand Russell afirmarían que “tres.”
Pero en una ecuación aritmética del tipo 3+5=8, como la que emplea Carlos Julio Luque Arias, tanto el 3, como el cinco y el ocho son sustantivos, a saber, nos referimos a “cosas,” aun cuando se traten estos de entes abstractos. Según Luque Arias: “Frege y Russell propusieron que lo mejor es definir tres como un adjetivo, es decir, precisar qué significa que un conjunto tenga 3 elementos y luego definir el sustantivo en términos del adjetivo.
Es decir, que en un sistema S existen tres elementos diferentes y solo tres.” No obstante, para Henri Poincaré esto no fue suficiente, porque para definir un 3 haría falta saber contar, y si alguien no tuviera noción aritmética alguna, y de esta manera no supiera que el conjunto {x, y, z} tiene tres elementos, no sabría si la definición es acertada o no. Como podrás notar, la discusión se alarga y puede profundizarse (más si al debate invitamos a los filósofos), se dice que el mismo Leopold Kronecker afirmó alguna vez que: “Dios creó a los naturales. Todo lo demás fue una creación del hombre.”
Pero en 1889 un matemático italiano de nombre Giuseppe Peano decidió que no preocuparse más por qué eran o no eran los números naturales, y comenzó a describir y definir cómo estos se comportaban entre sí, esto desde la lógica-matemática, y no desde la Teoría de Conjuntos como pretendían hacerlo otros matemáticos como Richard Dedekind.
Esto lo hizo a través de la publicación de su obra Arithmetices Principia, Nova Methodo Exposita, la cual fue publicada en latín, aun y cuando en su época este idioma ya era muy poco utilizado, siendo hoy considerada una lengua muerta. En este texto introduce cierta simbología que se volvería elemental en la lógica-matemática, como este “∈” que se lee como “pertenece a,” entre otros muchos más. Estos símbolos los usó Peano para “construir” los números naturales con base en axiomas, un axioma es toda afirmación que resulte tan evidente que no requiera de una explicación. En suma, los susodichos axiomas eran originalmente nueve, pero la comunidad matemática decidió reducirlos a cinco con el tiempo:
a) 1 es un elemento del conjunto de los números naturales (es decir, N)
b) Todo elemento de N verifica que su siguiente también es un elemento de N
c) 1 no es el siguiente de ningún elemento de ningún elemento de N (a menos de que consideremos al 0 un número natural, entonces sustituiríamos al 1 por el 0)
d) Si el número siguiente de dos números es el mismo, entonces estamos hablando del mismo número.
e) Un subconjunto de N que contenga al 1 y que dado un elemento del subconjunto también contenga a su siguiente, entonces el subconjunto es igual a N
Este último axioma es considerado el pilar de la inducción matemática, pero ese es tema para otra ocasión. En conclusión, los axiomas de Peano proporcionaron una manera más lógica y elemental de mirar a las matemáticas, las cuales, en conjunto con la lógica, siempre se encuentran en una constante búsqueda por comprobarse y fundamentarse a sí mismas.
En suma, cabe resaltar que Peano hizo definitivamente lo que Russell mencionó que era necesario, esto es poner un signo de interrogación en lo que por mucho tiempo se ha dado por sentado. No obstante, las matemáticas y la lógica no está completamente exentas de contradicciones, paradojas y misterios por resolver, como lo mostraremos aun más en el futuro, pues el siguiente tema será el Teorema de Incompletitud de Kurt Gödel, del cual hablaremos en un futuro.
Referencias:
Álgebra Superior II, Algunas Propiedades de los Números Naturales – Christof Geiss y Francisco Barrios. 2005
El Concepto de Número Natural Según Giusseppe Peano – Carlos Julio Luque Arias. 2022
Los Axiomas de Peano y el Principio de Inducción Matemática – Omar Hernández Rodríguez y Jorge M. López Fernández. 2015
Axiomas de Peano. Construcción de los Números Naturales – Cibermatex. 2013
